INDUKSI MATEMATIS

INDUKSI MATEMATIS

Penalaran Induktif Dan Deduktif

Penalaran induktif dan deduktif adalah dua cara mengambil kesimpulan. Jika penalaran deduktif berangkatnya dari sesuatu yang berlaku secara umum ke sesuatu yang khusus, penalaran induktif justru sebaliknya. Penalaran induktif diperoleh dari menyimpulkan kasus-kasus. Penalaran induktif biasanya digunakan untuk mengembangkan pengetahuan yang bersifat empiris, dan penalaran deduktif biasanya digunakan untuk mengembangkan pengetahuan yang bersifat abstrak. Namun demikian, dua cara ini perlu dimiliki siswa yang sedang belajar, termasuk belajar matematika. Dengan penalaran induktif, siswa akan sampai pada suatu pernyataan yang dikenal dengan istilah konjektur (dalam bahasa Inggris disebut conjecture) yang belum tentu benar secara mutlak. Dengan penalaran deduktif, kebenaran yang diperoleh merupakan kebenaran mutlak. Bagaimana dengan induksi matematis, apakah ini termasuk penalaran induktif atau deduktif? Mari kita perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 1.

Perhatikan pernyataan berikut.

Apapun bilangan asli yang kita substitusikan pada n dalam bentuk n² - n + 41, maka hasilnya pasti bilangan prima.

Mari kita substitusikan beberapa bilangan asli berturut-turut ke dalam tabel berikut.

 n +41

Dari kolom ketiga di atas, tampak bahwa semua bilangan adalah bilangan prima. Kalau kita menggunakan kasus-kasus di atas untuk mengambil kesimpulan, maka kita dapat menyimpulkan bahwa n² - n + 41 adalah bilangan prima untuk apapun bilangan n-nya. Penalaran semacam ini kita sebut penalaran induktif.

Penalaran semacam ini sah-sah saja, dan ini yang sering terjadi dalam pengembangan ilmu-ilmu alam atau sosial. Kesimpulannya diperoleh dengan cara induktif.

Di dalam matematika, kebenaran suatu pernyataan itu harus bersifat absolut/mutlak. Kalau dikatakan bahwa n² - n + 41 adalah bilangan prima untuk setiap bilangan asli n, maka pernyataan ini harus benar untuk bilangan asli apapun. Sayangnya, pernyataan bahwa n² - n + 41 adalah bilangan prima untuk setiap n bilangan asli adalah tidak benar.

Sebagai contoh, untuk n = 41 maka nilai n² - n + 41 adalah bilangan yang habis dibagi 41. Karenanya, untuk n = 41, nilai n² - n + 41 adalah 41² – 41 + 41 = 41² yang jelas bukan bilangan prima. Artinya, kesimpulan dari hasil penalaran induktif tidak selalu benar untuk semua nilai n. Oleh karenanya secara matematis tidak bisa diterima sebagai kebenaran mutlak.

Contoh 2.

Jika p adalah bilangan prima, maka kita cenderung mengambil kesimpulan dari penalaran induktif bahwa 2^p - 1 adalah bilangan prima juga. Mengapa demikian?

Coba kita substitusikan beberapa bilangan.

Jika p = 2, 3, 5, 7 maka 2^p -1 akan bernilai 3, 7, 31, 127 yang semuanya adalah bilangan prima.

Tetapi, kalau kita substitusikan p = 11, maka hasilnya adalah 2047 yang bukan bilangan prima. Sebab 2.047 memiliki faktor lain selain 1 dan 2047 yaitu antara lain 23 dan 89. Periksalah bahwa 23 x 89 = 2.047.

Jadi, penalaran induktif yang umum seperti itu tidak menjamin diperolehnya pernyataan yang benar untuk setiap bilangan asli.

Contoh 3

Sekarang perhatikan pertidaksamaan n < 2ⁿ. Apakah pertidaksamaan itu benar untuk semua bilangan asli n?

Mari kita periksa kebenaran pertidaksamaan tersebut dengan mensubstitusikan 10 bilangan asli yang pertama ke dalam tabel berikut.

n 􀀟

Untuk 10 bilangan asli yang pertama tampak bahwa pertidaksamaan ini benar. Kenyataannya ini juga berlaku bahwa apapun bilangan asli n tertentu yang kita pilih, maka pertidaksamaan n < 2ⁿ. Ini juga akan benar. Apakah dengan kegiatan penalaran induktif ini kita sudah membuktikan dan menyimpulkan bahwa pertidaksamaan n < 2ⁿ benar untuk semua bilangan asli n ?

Contoh 3

Selidiki untuk bilangan asli n mana saja pertidaksamaan 3ⁿ > n³ bernilai benar. Dengan mengunakan tabel berikut, kita akan mengecek kebenaran pertidaksamaan di atas untuk 8 bilangan asli yang pertama.

Dari tabel di atas, tampak bahwa untuk tiga bilangan asli pertama, pertidaksamaan bernilai salah. Pertidaksamaan baru bernilai benar setelah bilangan asli 4 ke atas. Dengan kegiatan penalaran induktif, dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan 3ⁿ > n³ benar untuk semua bilangan asli n yang lebih atau sama dengan 4.

Penarikan kesimpulan secara induktif yang umum ini tidak bisa diterima sebagai kebenaran mutlak di dalam matematika.

Lain halnya dengan induksi matematis. Prinsip induksi matematis merupakan teorema yang dapat dibuktikan kebenarannya (bukti teorema tersebut dapat kamu pelajari pada Buku Matematika di Perguruan Tinggi). Kebenaran yang diperoleh pada Prinsip Induksi Matematis merupakan kebenaran yang berlaku dalam semesta pembicaraannya. Dengan demikian, prinsip induksi matematis merupakan penalaran deduktif. Prinsip induksi matematis itulah yang akan kita pelajari sekarang.

Kalau Anda sudah membaca pendahuluan di atas, khususnya di bagian akhir, tentunya Anda pasti ingin tahu tentang apa induksi matematis itu. Mungkin Anda akan bertanya:

1. Apa sebenarnya induksi matematis itu?

2. Apa bedanya induksi matematis dengan penalaran induktif yang biasa kita kenal itu?

3. Untuk hal yang bagaimana induksi matematis itu digunakan?

4. Mengapa induksi matematis bisa diterima sebagai prinsip pembuktian yang valid dalam matematika (penalaran deduktif)?

Sekarang, tuliskan pertanyaan Anda pada tempat yang disediakan berikut. Buatlah pertanyaan yang berkenaan dengan apa yang Anda amati pada induksi matematis. Sila tuliskan pertanyaan Anda di kotak berikut atau di buku catatan Anda.

Mudah-mudahan Anda semua mempertanyakan

1. Apa sebenarnya induksi matematis itu?

2. Mengapa induksi matematis merupakan suatu penalaran deduktif?

3. Bagaimana menggunakan induksi matematis dalam pembuktian suatu pernyataan?

Kalau Anda menanyakan ini, berarti Anda memang ingin memahami apa yang dimaksud dengan induksi matematis, mengapa induksi matematis merupakan suatu penalaran deduktif, dan bagaimana induksi matematis digunakan dalam pembuktian matematis. Sekarang perhatikan tahap awal penalaran dalam Induksi Matematis.

Bersambung....!